Jeśli chodzi o projektowanie złożonych kształtów i form geometrycznych, Grasshopper to niesamowicie potężne narzędzie, które może pomóc Ci osiągnąć Twoje cele. Jednakże, aby jak najlepiej wykorzystać ten program, musisz mieć solidne zrozumienie niektórych kluczowych elementów i ich działania, które leżą u podstaw tego programu. Jednym z tych pojęć jest idea krzywych parametrycznych, które są krzywymi zdefiniowanymi przez zbiór parametrów. W tym wpisie przyjrzymy się bliżej, jak działają krzywe parametryczne w Grasshopperze oraz jak ważne są parametry i dziedziny krzywych.
Spis treści
1. Krzywa parametryczna
Na początek, zdefiniujmy, co rozumiemy przez krzywą parametryczną. Mówiąc prościej, krzywa parametryczna to krzywa zdefiniowana przez zbiór parametrów, a nie przez stały zestaw punktów. W Grasshopperze te parametry są zwykle reprezentowane przez zmienne, które można dowolnie zmieniać, aby stworzyć szeroki zakres różnych kształtów i form. Jednym z kluczowych korzyści korzystania z krzywych parametrycznych jest to, że pozwalają na większą elastyczność i precyzję w projektowaniu, ponieważ można łatwo dostosować je za pomocą parametrów, aby osiągnąć pożądany efekt.
Z punktu widzenia matematycznego:
Krzywa parametryczna to krzywa zdefiniowana przez zbiór równań, które określają jej współrzędne jako funkcje jednego lub więcej parametrów. Na przykład, dwuwymiarowa krzywa parametryczna może być zdefiniowana przez równania x(t) i y(t), gdzie t jest parametrem. Krzywa jest następnie reprezentowana przez zbiór punktów (x(t), y(t)) dla wszystkich wartości t.
2. Nierównomierne parametryzowanie
Aby lepiej zrozumieć te pojęcia, rozważmy przykład Boba, który jedzie na swoim rowerze z domu do miasta. Trasa Boba może być przedstawiona jako krzywa parametryczna, a punkty, w których zatrzymuje się, aby sprawdzić swój postęp, można uznać za punkty kontrolne. Bob nosi zegarek, aby śledzić czas i zawsze sprawdza, ile czasu zajmuje mu dojazd do miasta i mierzy swoje pozycje co 10 minut. Ta podróż może być przedstawiona jako krzywa parametryczna.
Aby stworzyć tę krzywą, możemy użyć punktów, w których Bob sprawdzał czas, jako punkty kontrolne. Punkty te pomagają zdefiniować kształt i kierunek krzywej. W tym przypadku możemy powiedzieć, że czas jest naszym parametrem.
Bob sprawdzał czas co 10 minut, co oznacza, że możemy użyć tych punktów jako punkty kontrolne. Ten rodzaj parametryzacji nazywa się nierównomierny, gdzie odległość między punktami kontrolnymi definiuje, jak strome jest nachylenie krzywej.
Nierównomierne parametryzowanie krzywej to taki rodzaj parametryzacji, w którym wartości parametru nie są równomiernie rozłożone wzdłuż krzywej. Nierównomierne parametryzacje mogą być przydatne w sytuacjach, gdy chcemy podkreślić określone części krzywej lub osiągnąć określone efekty wizualne. Zauważamy, że odległość między każdym punktem kontrolnym nie jest równa. Na przykład Bob musiał wjechać pod górkę, co zajęło mu więcej czasu niż zjeżdżanie. Ta różnica czasu wpływa na odległość między każdym punktem kontrolnym.
Parametryzacja pomaga nam zrozumieć zachowanie krzywej i jak się zmienia, gdy się nią poruszamy.
3. Jednolita parametryzacja
Załóżmy, że Bob podróżuje teraz z ustaloną prędkością do innego miasta, po drodze o stałym nachyleniu, co oznacza, że nie musi pokonywać podjazdów i zjazdów. W tym przypadku możemy użyć jednolitej parametryzacji krzywej dla krzywej parametrycznej, która reprezentuje podróż Boba.
Przy jednolitej parametryzacji krzywej dzielimy podróż Boba na równe przedziały czasowe. Załóżmy, że dzielimy jego podróż na 10 przedziałów po 10 minut każdy. Na końcu każdego przedziału zapisalibyśmy pozycję Boba wzdłuż drogi, tak jak zrobiliśmy to przy niejednolitej parametryzacji.
Ponieważ nachylenie drogi jest stałe, dystans, jaki pokonuje Bob podczas każdego przedziału, jest również stały. Dlatego odległość między każdym punktem kontrolnym wzdłuż krzywej parametrycznej byłaby równa. O to właśnie chodzi w przypadku jednolitej parametryzacji krzywej.
Jednolita parametryzacja krzywej to taka, w której parametr jest równomiernie rozmieszczony wzdłuż krzywej. Oznacza to, że odległość między dwoma sąsiednimi wartościami parametru jest stała. Jednolita parametryzacja może uprościć wiele operacji na krzywych, takich jak obliczanie długości krzywej lub interpolacja punktów na krzywej.
4. Domena krzywej
Domena krzywej w programie Grasshopper to zakres wartości odpowiadających parametryzacji krzywej. Domena jest zbiorem liczb, które definiują, jak krzywa jest parametryzowana, czyli jak jej punkty są uporządkowane wzdłuż krzywej.
Weźmy jako przykład przejażdżkę Boba na rowerze do miasta po drodze o stałym nachyleniu. W tym przykładzie mamy prostą krzywą, a jej dziedzina może być zdefiniowana jako od 0 do 1. Oznacza to, że jeśli ocenimy krzywą w wartości parametru równym 0, otrzymamy pierwszy punkt na krzywej, a jeśli ocenimy ją w wartości parametru równym 1, otrzymamy ostatni punkt na krzywej.
W przypadku pierwszej przejażdżki Boba po nieregularnej krzywej dziedzina była bardziej skomplikowana i zmienna w porównaniu do krzywych regularnych. Kiedy Bob uruchomił swój zegarek, zmierzył swoją pozycję (start) z parametrem równym 0 na krzywej. Następnie co jedną sekundę mogliśmy śledzić pozycję Boba na krzywej. Aż do momentu, gdy po 120 minutach zakończył swoją podróż. Dlatego dziedzina tej parametrycznej krzywej wynosiła od 0 do 120. Wartość parametru 120 oznacza koniec krzywej.
Domena nieregularnej krzywej jest zdefiniowana przez jej punkty kontrolne, a rozkład punktów kontrolnych wzdłuż krzywej wpływa na jej kształt. Domena to zbiór wartości, które reprezentują zakres parametrów użytych do zdefiniowania krzywej.
W programie Grasshopper możemy użyć różnych komponentów do pracy z dziedziną krzywej. Na przykład, możemy użyć komponentu “Curve Domain”, aby pobrać dziedzinę krzywej.
5. Reparametryzacja
Jak już wcześniej napisałem, w Grasshopperze możesz zmieniać dziedzinę krzywej na cokolwiek chcemy. Ten proces nazywa się reparametryzacją. Jednakże, zaleca się, aby trzymać się domyślnej dziedziny od 0 do 1, gdy korzystasz z komponentu “Reparameterize”. Jest to dlatego, że dziedzina od 0 do 1 to standardowa reprezentacja, która umożliwia pracę z krzywymi w sposób spójny i przewidywalny. Oczywiście, chyba że masz konkretny powód, aby to zmienić i dostosować dziedzinę do swoich potrzeb.
Reparametryzacja w Grasshopperze może odbywać się na różne sposoby:
Komponent “Reparameterize” – Wystarczy podłączyć swoją krzywą do wejścia komponentu i ustawić pożądaną dziedzinę, na którą chcesz przeparametryzować. Rezultatem komponentu będzie nowa krzywa, która została przeparametryzowana do pożądanej dziedziny.
Poprzez ustawienie opcji na wejściu lub wyjściu krzywej. Jeśli w którymkolwiek wejściu lub wyjściu występuje tekst “Curve”, zobaczysz dodatkowy symbol paraboli, co oznacza, że za pomocą jednego kliknięcia można zmienić dziedzinę z 0 do 1.
6. Komponent "Evaluate Curve"
Komponent “Evaluate Curve” w Grasshopperze to narzędzie, które pozwala na wyciąganie informacji z krzywej w konkretnym wartości parametru. Innymi słowy, możesz użyć tego komponentu, aby dowiedzieć się, gdzie znajduje się punkt na krzywej lub jaki jest kierunek stycznej do krzywej w określonym punkcie.
Aby użyć komponentu “Evaluate Curve”, musisz dostarczyć mu krzywą do oceny i wartość parametru, w której chcesz ocenić krzywą. Wartość parametru reprezentuje pozycję na krzywej, w zakresie od 0 do 1 w domyślnym przedziale. Możesz również użyć komponentu “Reparameterize” do dostosowania przedziału krzywej do swoich potrzeb.
Po dostarczeniu krzywej i wartości parametru do komponentu “Evaluate Curve”, zostanie wygenerowany punkt i wektor styczny odpowiadające tej pozycji na krzywej. Możesz wykorzystać te wyjścia na różne sposoby, na przykład, aby umieścić obiekt na tej pozycji na krzywej lub ustawić obiekt w kierunku wektora stycznego.
7. Ważne!
Kiedy mierzymy punkt na 0,5 na krzywej parametrycznej, nie zawsze znajduje się on w środku krzywej pod względem całkowitej długości. Jest to w przeciwieństwie do jednostajnej parametryzacji, gdzie odległość między punktami kontrolnymi jest równa, a punkty są równomiernie rozłożone wzdłuż krzywej.
8. Podsumowanie
W tym artykule wyjaśniłem pojęcie krzywych parametrycznych w Grasshopperze, które są krzywymi zdefiniowanymi przez zestaw parametrów, a nie przez stały zestaw punktów. Zrozumienie dziedzin i tego, co proces reparametryzacji robi z dziedziną, jest kluczowe dla pojęcia krzywych parametrycznych i rozpoczęcia pracy z bardziej zaawansowanymi geometriami.
If you want to get more information about Grasshopper and learn parametric modelling, download the free guide – FREE DOWNLOAD
Grasshopper is a plugin to Rhino that you can download HERE.
